圆锥的母线
发明数学，创造数学
像数学家一样思考 数学精彩观念的诞生
数学可以越学越容易吗？贞元数学告诉你：当然可以！
圆柱体和圆锥体的表面积公式
橄榄树 王瀚
今天我要与大家介绍的是圆柱体与圆锥体的表面积。
应该如何求圆柱体的表面积呢？首先应该了解一下圆柱体的表面积都是哪些面，圆柱体的表面积是两个底面的面积和一个侧面的面积总和。那么，应该如何计算圆柱体的侧面积呢？如果我们把圆柱体的侧面沿着母线展开，会变成一个长方形。因此我们就把计算圆柱体的侧面积这一个计算弧面面积的问题转化成一个计算平面面积的问题了。因此要计算这个长方形只需要知道它的长和宽是多少就可以了，或者说此长方形的长和宽分别代表着原来圆柱体的哪些边。而通过展开变换，我们知道此长方形的长是圆柱体的底面周长，此长方形的宽是圆柱体的高（或此长方形的长是圆柱体的高，此长方形的宽是圆柱体的底面周长）。因此求圆柱体的侧面积，也就是用圆柱的底面周长乘以它的高，所以圆柱体的侧面积公式是：2πrh。
会计算圆柱的侧面积，接下来要计算的就是圆柱两个底面积，而两个底面积就非常好求，直接用圆的面积公式就可以了，也就是 π r2。
所以圆柱体的表面积公式是：2πrh+2π r2=2πr(h+r)
接下来是圆锥体的表面积。圆锥体的表面积看似比圆柱体的表面积更难求，实则道理基本一样。首先我们也是要搞清楚圆锥体的表面积分别是哪几个面的面积和。圆锥体的表面积是圆锥体的侧面积和它的底面积的和。
首先我们应该攻破的是圆锥体的侧面积。把圆锥体的侧面沿着母线展开后，是一个扇形，求扇形的面积有三种方法，假设此扇形的角度为90°，那么第1种方法也就是用此扇形所在圆的面积乘以，而如果一个扇形的圆心角是a°，那么此扇形的面积就是用此扇形所在圆的面积乘以，也就是我们可以把此扇形构思成一个圆形，再根据圆形和扇形的面积的倍数关系来求扇形的面积。第2种方法是根据扇形的弧长与它所对应圆的周长的倍数关系求出扇形的面积。比如对应圆的周长是31.4cm，弧长3.14cm，那么，扇形的面积就是对应圆的面积的。如果扇形的弧长为a，对应圆的半径为r，那么，扇形的面积就占对应圆的。第3种方法，我们可以将一个扇形从它的顶点到它的弧长连无数条线，也就分成了无数个近似小三角形的图形，而这些近似小三角形的面积和就是这个扇形的面积。如图所示：
最终扇形的面积就等于扇形的弧长（h）乘它的半径（r）再乘。而扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，扇形的高是圆锥体的母线。很明显，第三种方法最简单，因为母线和周长都是可以算出来的，这是求圆锥体的侧面积的方法。由此可知圆锥的侧面积公式是:Cxhx1/2，而扇形底面周长C=2πr，而圆锥体的底面积的求的方法就非常简单，也就是π r2（r为圆锥的底面半径）。
因此圆锥体的表面积的公式是：
2πrh×+π r2=πrh+π r2
（其中，r是圆锥的底面半径，h为圆锥的母线）。
以上就是圆柱体和圆锥体的表面积的公式。
辅导老师 郭路景
责任编辑/李义坚
